Question

已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）以P（1，2）為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓方程可求其焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在雙曲線C上，根據(jù)雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，即可求出所求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入A、B在雙曲線方程得，兩方程相減，借助于P（1，2）為中點(diǎn)，可求弦AB所在直線的斜率，進(jìn)而可求其方程．
解答：解：（1）由已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
由雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴
∴，
∴b²=2
∴所求雙曲線為…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因?yàn)锳、B在雙曲線上
∴，兩方程相減得：得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∴，
∴
∴弦AB的方程為即x-2y+3=0
經(jīng)檢驗(yàn)x-2y+3=0為所求直線方程．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查弦中點(diǎn)問題，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．