Question

已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

3

2

，且與橢圓

x2

25

+

y2

13

=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線(xiàn)L：y=kx+3與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線(xiàn)L：y=kx+3與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，C是直線(xiàn)L₁：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)）試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，則a²=3，b²=9，從而可求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)k；
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，由題意知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L₁對(duì)稱(chēng)，從而可求則AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并滿(mǎn)足直線(xiàn)L₁的方程y=-

1

k

x+6，故可求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)k．

解答：解：（1）由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，則a²=3，b²=9，
因此所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

-

y2

9

=1．---（4分）
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）
將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

，---（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，
由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，---（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
則x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=

9k2-9

k2-3

=0，即k=±1滿(mǎn)足條件．---（12分）
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）
將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

，---（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，
由題意知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L₁對(duì)稱(chēng)，---（9分）
則AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

3k

3-k2

，

9

3-k2

)，
并滿(mǎn)足直線(xiàn)L₁的方程y=-

1

k

x+6，則k=±1滿(mǎn)足條件．---（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．