Question

已知雙曲線與橢圓共焦點，它們的離心率之和為；
（1）求橢圓與雙曲線的離心率e₁、e₂；
（2）求雙曲線的標準方程與漸近線方程；
（3）已知直線與橢圓有兩個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）橢圓中，由a=2，c=，能求出橢圓離心率e₁，由雙曲線與橢圓離心率之和為，能求出雙曲線的離心率e₂．
（2）由橢圓焦點為F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），雙曲線與橢圓共焦點，知雙曲線的焦點為F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），再由雙曲線的離心率e₂=．能求出雙曲線的標準方程和漸近線方程．
（3）由，得2x²+4mx+4m²-4=0，直線與橢圓有兩個交點，知△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓中，
a=2，c=
∴橢圓離心率e₁=．
∵雙曲線與橢圓的離心率之和為，
∴雙曲線的離心率e₂==．
（2）∵橢圓焦點為F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），
雙曲線與橢圓共焦點，
∴雙曲線的焦點為F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），
∵雙曲線的離心率e₂=．
∴雙曲線的標準方程為，
∴雙曲線的漸近線方程為y=x．
（3）由，得2x²+4mx+4m²-4=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，
∴△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，
解得-．
故m的取值范圍是（-）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．