Question

設定點P在圓周x²+y²=1上，若Q，R在x²+y²=1的內(nèi)部或圓周上，且△PQR為邊長是

3

2

的正三角形，則OQ²+OR²最大值為

 

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)題意判斷出圓心O在∠QPR內(nèi)．利用向量減法的幾何意義表示

OQ

=

OQ

-

OP

，

OR

=

OR

-

OP

，則

OQ

2+

OR

2=(

OQ

-

OP

)2+(

OR

-

OP

)2，根據(jù)數(shù)量積的運算化簡，并根據(jù)三角函數(shù)的性質之求其最大值即可．

解答： 解∵P在圓周x²+y²=1上，△PQR為邊長是

3

2

的正三角形，Q，R在x²+y²=1的內(nèi)部或圓周上，
∴圓心O在∠QPR內(nèi)．
∴

OQ

=

OQ

-

OP

，

OR

=

OR

-

OP

，
∴

OQ

2+

OR

2=(

OQ

-

OP

)2+(

OR

-

OP

)2
=2

OP

2+

PQ

2+

PR

2-2

OP

•

PQ

-2

OP

•

PR

=

7

2

-2|

OP

||

PQ

|cos∠OPQ-2|

OP

||

PR

|cos∠OPR
=

7

2

-

3

（cos∠OPQ+cos∠OPR）
=

7

2

-2

3

cos（

∠OPQ+∠OPR

2

）•cos（

∠OPQ-∠OPR

2

）
=

7

2

-2

3

cos30°cos（

∠OPQ-∠OPR

2

）
≤

7

2

-3=

1

2

•
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查向量減法，數(shù)量積運算，以及三角恒變換和三角函數(shù)性質的應用，屬于中檔題．