Question

已知在△ABC中，

AB

•

BC

=3，記＜

AB

，

BC

＞=θ．
（1）若△ABC的面積S滿足

3

≤2S≤3，求θ的取值范圍；
（2）若θ=

π

3

，求△△ABC的最大邊長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知等式，得到|

AB

|•|

BC

|=

3

cosθ

，再利用三角形面積公式表示出S，將得出關(guān)系式代入求出tanθ的范圍，即可確定出θ的范圍；
（2）由θ的值確定出∠ABC的度數(shù)，得到AC最長(zhǎng)，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式求出AC的最小值即可．

解答： 解：（1）∵

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cosθ=3，即|

AB

|•|

BC

|=

3

cosθ

，
∴S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sin（π-θ）=

3

2

tanθ，
∴

3

≤3tanθ≤3，即

3

3

≤tanθ≤1，
則θ的范圍為

π

6

≤θ≤

π

4

；
（2）若θ=

π

3

，則∠ABC=

2π

3

，則其所對(duì)的邊AC最長(zhǎng)，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos

2π

3

≥2AB•BC+AB•BC=3AB•BC=3×

3

cos π 3

=18，
當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)取等號(hào)，
∴AC≥3

2

，
則△ABC的最大邊長(zhǎng)的最小值為3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．