Question

已知橢圓方程

x2

4

+y²=1，不過原點的直線l與橢圓交于P、Q兩點，且直線OP、PQ、OQ的斜率成等比數(shù)列，求S_△OPQ的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+t（t≠0）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．由△＞0，可得1+4k²＞t²．得到根與系數(shù)的關(guān)系．利用直線OP、PQ、OQ的斜率成等比數(shù)列，可得

y1

x1

•

y2

x2

=k2，化為4k²=1．同時得到t²＜2．利用弦長公式可得|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

(1+k2)(2-t2)

，利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線PQ的距離d=

|t|

1+k2

．利用S_△OPQ=

1

2

|PQ|d=

(2-t2)t2

，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+t（t≠0，±1）．
聯(lián)立

y=kx+t x2+4y2=4

，
化為（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
△=64k²t²-4（4t²-4）（1+4k²）＞0，化為1+4k²＞t²．
∴x₁+x₂=-

8kt

1+4k2

，x1x2=

4t2-4

1+4k2

．
∵直線OP、PQ、OQ的斜率成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=k2，
∴(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2，
化為tk（x₁+x₂）+t²=0，
∴

-8k2t

1+4k2

+t=0，
∴4k²=1．
∴t²＜2．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( -8kt 1+4k2 )2- 4(4t2-4) 1+4k2 ]

=2

(1+k2)(2-t2)

，
原點O到直線PQ的距離d=

|t|

1+k2

．
∴S_△OPQ=

1

2

|PQ|d=

(2-t2)t2

≤

( 2-t2+t2 2 )2

=1，由于t²≠1，因此不取等號．
∴S_△OPQ的取值范圍是（0，1）．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．