Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為棱PC上的動點，且$\frac{PM}{PC}$=λ（λ∈[0，1]）．
（Ⅰ） 求證：BC⊥PC；
（Ⅱ） 試確定λ的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)OP，OC，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BC⊥PC．
（Ⅱ）設(shè)M（a，b，c），由$\frac{PM}{PC}$=λ可得點M的坐標為（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)OP，OC，
∵側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，
底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△ADC是等邊三角形，PO、AD、CO兩兩垂直，
以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，-2，0），
$\overrightarrow{CB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{CP}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CP}$=0，∴CB⊥CP．
（Ⅱ）由$\frac{PM}{PC}$=λ可得點M的坐標為（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\sqrt{3}$λ，1，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DM}$=（$\sqrt{3}$λ，-，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
平面AMD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}λx+y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\\{\sqrt{3}λx-y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\end{array}\right.$
令z=λ，得$\overrightarrow{n}$=（λ-1，0，λ），
由題意平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角P-AD-M的平面角余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{λ}{λ-1}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由λ∈[0，1]），解得λ=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查空間線面關(guān)系、二面角P-AD-M的平面角余弦值等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，正確運用向量法是關(guān)鍵．