Question

定義：如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”．若函數(shù)h（x）=lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù)，求M的最小值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先證明當(dāng)M≥2時(shí)，函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù)，然后證明當(dāng)0＜M＜2時(shí)，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數(shù)，從而求出所求．

解答： 解：首先證明當(dāng)M≥2時(shí)，函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù)．
對(duì)任意一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因?yàn)閍≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．
故函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函數(shù)…13分
（ii）其次證明當(dāng)0＜M＜2時(shí)，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數(shù)，
因?yàn)?＜M＜2，所以M+M=2M＞M²，所以M，M，M²是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，
而lnM+lnM=2lnM=lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，所以h（x）=lnx 不是保三角形函數(shù)．
所以，當(dāng)M＜2時(shí)，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數(shù)．
綜上所述：M的最小值為2

點(diǎn)評(píng)：要想判斷f（x）為“保三角形函數(shù)”，要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證說(shuō)明f（x）滿足“保三角形函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數(shù)”，僅須要舉出一個(gè)反例即可，屬于創(chuàng)新題．