Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）2

【解析】

（1）先求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，將代入原函數(shù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)，再運(yùn)用點(diǎn)斜式求出切線方程；

（2）法一：可知，先分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)和，求出單調(diào)性，通過(guò)求出的最值，便得到的最大值.

法二：先通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，再用分離參數(shù)，利用基本不等式求出的最大值.

（1）∵，在處的切線方程為

∴∴

解得

（2）解法1：∵，由

∴

令，則

令，則

在上單調(diào)遞增，

∴，使得，即

∴

在上遞減，在上遞增

，∵∴

∴

∵，∴整數(shù)的最大值為2

解法2：令

顯然在上遞增

當(dāng)時(shí)，在上遞增，，合題意

當(dāng)時(shí)，，則，即

在上遞減，在上遞增

即，而恒成立

∴

∵，，∴.又∵.

若，，，使得，不合題意舍去.

若.

，在上遞減，在上遞增

∴，合題意

∴整數(shù)的最大值為2.