Question

在極坐標(biāo)系中，過極點(diǎn)O做直線n與直線m：ρcosθ=2相交于點(diǎn)M，在線段OM上取一點(diǎn)P，使|OM|•|OP|=6．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線l恒過定點(diǎn)（0，1），l與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=

5

時，求直線l在直角坐標(biāo)系下的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ₀，θ），由題意ρρ₀=6，ρ₀cosθ=2，求出點(diǎn)P的軌跡方程；

解答： 解：（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ₀，θ），
則ρ•ρ₀=6；
∵ρ₀cosθ=2，
∴ρ=3cosθ；
∴點(diǎn)P的軌跡方程為ρ=3cosθ；
（2）點(diǎn)P的軌跡方程ρ=3cosθ化為普通方程是x²+y²=3x，
即(x-

3

2

)2+y²=

9

4

，它表示圓心為（

3

2

，0），半徑為

3

2

的圓；
設(shè)直線l的方程為kx+y-1=0，
則圓心到直線l的距離d=

| 3 2 k-1|

1+k2

=

( 9 4 )2-( 5 2 )2

；
解得k=0，或k=

12

5

，
∴直線l的方程為y-1=0，或

12

5

x+y-1=0；
即y=1或12x+5y-5=0．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)深刻把握極坐標(biāo)方程的意義是什么，熟練地進(jìn)行極坐標(biāo)與普通方程的互化，是基礎(chǔ)題．