Question

如果函數(shù)f（x）=mx²+（2m-1）x+（m-3）
（1）函數(shù)在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若m=2，求函數(shù)在區(qū)間[-2，3]內(nèi)的最大和最小值；
（3）若m＞0，且函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，y=-x-3只有一個(gè)零點(diǎn)，得m≠0．由函數(shù)在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則：△＞0，即（2m-1）²-4m（m-3）＞0，解出即可；
（2）由y′=4x+3，得函數(shù)在f（x）在[-2，-

3

4

]上是減函數(shù)，在[-

3

4

，3]上是增函數(shù)，從而求出函數(shù)的最值；
（3）函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，且m＞0，從而-

2m-1

2m

≤0，所以m≥

1

2

．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，y=-x-3只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴m≠0．
函數(shù)在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則：△＞0，即（2m-1）²-4m（m-3）＞0，
∴m＞-

1

8

且m≠0，
（2）若m=2，y=2x²+3x-1
∴y′=4x+3，
令y′＞0，解得：x＞-

3

4

，
令y′＜0，解得：x＜-

3

4

∴函數(shù)在f（x）在[-2，-

3

4

]上是減函數(shù)，在[-

3

4

，3]上是增函數(shù)
∴函數(shù)的最小值是：f(-

3

4

)=-

17

8

，函數(shù)的最大值是：f（3）=26，
（3）函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，且m＞0
∴-

2m-1

2m

≤0，
∴2m-1≥0，所以m≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．