Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），且滿足f′（-1）=0；
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．再利用f′（-1）=0，即可解得a．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-

1

2

x2-4x+2．x∈[-2，2]．令f′（x）=0，解得x=-1，

4

3

．列出表格，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值，即可得出最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），
∴f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f′（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得a=

1

2

，
∴a=

1

2

；
（2）由（1）可得：f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)=x³-

1

2

x2-4x+2．x∈[-2，2]．
f′（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，

4

3

．
列表如下：

x	[-2，-1）	-1	(-1， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，2]
f′（x）	+	0	-	0
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=

9

2

；當(dāng)x=

4

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f(

4

3

)=-

50

27

；又f（-2）=0，f（2）=0．
可知：函數(shù)f（x）的最大值為

9

2

，最小值為-

50

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．