【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的離心率為 ,且過(guò)點(diǎn)( , ).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l:y=kx+m(k≠0),與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2 , 滿足4k=k1+k2 , 試問(wèn):當(dāng)k變化時(shí),m2是否為定值?若是,求出此定值,并證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:依題意可得 ,解得a=2,b=1
所以橢圓C的方程是
(2)解:當(dāng)k變化時(shí),m2為定值,證明如下:
由 得,(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).則x1+x2= ,x1x2= …()
∵直線OP、OQ的斜率依次為k1,k2,且4k=k1+k2,
∴4k= = ,得2kx1x2=m(x1+x2),
將()代入得:m2= ,
經(jīng)檢驗(yàn)滿足△>0.
【解析】(1)利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量,得到橢圓的方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2).利用韋達(dá)定理,通過(guò)直線OP、OQ的斜率依次為k1 , k2 , 且4k=k1+k2 , 求解即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù) 圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為 ,且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0 , 0)成中心對(duì)稱, ,則x0=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣3x+1, ,(A≠0)
(1)當(dāng)0≤x≤ 時(shí),求y=f(sinx)的最大值;
(2)若對(duì)任意的x1∈[0,3],總存在x2∈[0,3],使f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍;
(3)問(wèn)a取何值時(shí),方程f(sinx)=a﹣sinx在[0,2π)上有兩解?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象,只需把正弦曲線y=sinx上所有點(diǎn)( )
A.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍,縱坐標(biāo)不變
C.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H是BE的中點(diǎn),G是AE,DF的交點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)求證:BD⊥平面CDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為得到函數(shù)y=cos(2x+ )的圖象,只需將函數(shù)y=cos2x的圖象( )
A.向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
B.向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
C.向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
D.向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,其圖象既是軸對(duì)稱圖形又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=
B.y=﹣x2+1
C.y=2x
D.y=lg|x+1|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a2 , a4 , a8成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1 , n∈N* , 令cn= ,n∈N* , 求數(shù)列{cncn+1}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市要對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī),已知抽到的司機(jī)年齡都在[20,45)歲之間,根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示,利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是歲.
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