【題目】已知函數(shù).(其中為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若恒成立,求的最大值;

(2)設,若存在唯一的零點,且對滿足條件的不等式恒成立,求實數(shù)的取值集合.

【答案】(1);(2)

【解析】

1)就三種情況利用導數(shù)討論的單調性及其相應的最小值后可得:時,成立,時,成立,對后一種情況構建新函數(shù),利用導數(shù)可求的最大值即可.

2)求出,它是一個減函數(shù)且值域,故存在唯一的零點,再由題設條件可以得到,,用表示后可把不等式化為,構建新函數(shù),就兩類情況利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性后可得實數(shù)的取值,注意后者的進一步討論以的大小為分類標準.

(1),

時,,上單調遞增,取,

時,矛盾;

時,,

只要,即,此時;

時,令,,

所以單調遞增,在單調遞減,

,

所以,即,

此時

,,

,

,,上為增函數(shù);

,,上為減函數(shù).

所以,所以,故的最大值為

(2)單調遞減且的值域為,

的唯一的零點為,則,

所以,

恒成立,則,

上恒成立.

,

,,上為增函數(shù),注意到,知當時,,矛盾;

時,,為增函數(shù),

,則當時,,,為減函數(shù),

所以時,總有,矛盾;

,則當時,,,為增函數(shù),

所以時,總有,矛盾;

所以,此時當時,,為增函數(shù),,

時,,為減函數(shù),而

所以有唯一的零點.

綜上,的取值集合為

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年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

(1)求y關于t的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

,

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