Question

如圖所示幾何體是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐B₁-A₁BC₁后所得，點(diǎn)M為A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁C₁D⊥平面MBD；
（2）求平面A₁BC₁與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知推導(dǎo)出DM⊥A₁C₁，BM⊥A₁C₁，從而A₁C₁⊥平面MBD，由此能證明平面A₁C₁D⊥平面MBD．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面A₁BC₁與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵幾何體是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截取三棱錐B₁-A₁BC₁后所得，
∴DA₁=DC₁，A₁M=C₁M，∴DM⊥A₁C₁，
又BA₁=BC₁，A₁M=C₁M，∴BM⊥A₁C₁，
又DM∩BM=M，∴A₁C₁⊥平面MBD，
又A₁C₁?平面A₁C₁D，∴平面A₁C₁D⊥平面MBD．（6分）
（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DA=1，依題意知，A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
有

A1B

=(0，1，-1)，

A1C1

=(-1，1，0)
設(shè)平面A₁BC₁的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，
有

n • A1B =0 n • A1C1 =0

代入得

y-z=0 -x+y=0

，
設(shè)x=1，有

n

=(1，1，1)，平面ABCD的一個(gè)法向量

m

=(0，0，1)，
設(shè)平面A₁BC₁與平面ABCD所成銳二面角大小為α，
則cosα=|

n • m

| n || m |

|=

3

3

，
∴平面A₁BC₁與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為

3

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題以正方體為載體，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)．本題通過(guò)分層設(shè)計(jì)，考查了空間平面的垂直關(guān)系，以及二面角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．