Question

設a，b∈R且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義可得a，再利用奇函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義域可得b的取值范圍．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）上單調(diào)遞減．利用單調(diào)遞減函數(shù)的定義、對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）依題意知：當x∈（-b，b）時，f（-x）=-f（x）恒成立，
即 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

恒成立，
 而lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

?

1-ax 1-2x = 1+2x 1+ax ?a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去) 1-ax 1-2x ＞0

再由

1+2x

1-2x

＞0，解得 -

1

2

＜x＜

1

2

．
依題意知：(-b，b)⊆(-

1

2

，

1

2

)，
∴0＜b≤

1

2

即b∈(0，

1

2

]．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）上單調(diào)遞減．
由（1）知，f(x)=lg

1-2x

1+2x

 ， x∈(-b，b)，
?x₁，x₂∈（-b，b），且-

1

2

≤-b＜x1＜x2＜b≤

1

2

，則0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
從而 f(x2)-f(x1)=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0，）
∴f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的運算法則，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．