Question

如圖，AE是的⊙O切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OE于點(diǎn)D，割線EC交⊙O于B，C兩點(diǎn)．
（1）證明：O，D，B，C四點(diǎn)共線；
（2）設(shè)∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：弦切角,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連結(jié)OA，則OA⊥EA．由已知條件利用射影定理和切割線定理推導(dǎo)出

ED

BD

=

EC

EO

，由此能夠證明O，D，B，C四點(diǎn)共圓．
（2）連結(jié)OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大�。�

解答： （1）證明：連結(jié)OA，則OA⊥EA．
由射影定理得EA²=ED•EO．
由切割線定理得EA²=EB•EC，
∴ED•EO=EB•EC，即

ED

BD

=

EC

EO

，
又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，
∴∠EDB=∠OCE．
∴O，D，B，C四點(diǎn)共圓．…（6分）
（2）解：連結(jié)OB．因?yàn)椤螼EC+∠OCB+∠COE=180°，
結(jié)合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE
=180°-∠OBC-∠DBE
=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）
=∠DBC-∠ODC=20°．
∴∠OEC的大小為20°．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查角的大小的求法，是中檔題，