Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-a_n-（

1

2

）ⁿ⁺¹+2（n為正整數(shù)）．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n并證明：T_n＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=-a_n-（

1

2

）ⁿ⁺¹+2可求得2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1，結(jié)合b_n=2ⁿa_n，可證得b_n=b_n-1+1，從而可知其為等差數(shù)列，繼而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（I）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n+1，利用錯(cuò)位相減法即可求得T_n=3-

n+3

2n

，繼而證得結(jié)論成立．

解答： （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，令n=1，可得S₁=-a_n-1+2=a₁，即a1=

1

2

…1分
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1…4分
即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…5分
∵bn=2nan，∴b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=1…6分
又b₁=2a₁=1，∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列…7分
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan，∴an=

n

2n

…9分
（II）由（I）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
所以T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n+1，….10分
由①-②得

1

2

T_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

，
∵

n+3

2n

＞0，所以T_n＜3…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等差關(guān)系的確定，突出考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算、推理證明能力，屬于難題．