Question

如圖，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)為F（2，0）．拋物線C₂：y²=2px（p＞0）與橢圓C₁交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）求

FA

•

FB

的最小值，并求此時(shí)拋物線C₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件得

c a = 2 2 c=2

，由此能求出橢圓C₁方程．
（II）點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)A（x₀，y₀）、B（x₀，-y₀），由點(diǎn)A在橢圓C₁上，得y02=4(1-

x02

8

)，由已知有

FA

=(x0-2，y0)，

FB

=(x0-2，-y0)，由此能求出拋物線C₂方程．

解答： 解：（I）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)為F（2，0），
∴

c a = 2 2 c=2

，解得a=2

2

，c=2…（3分）
由b²=a²-c²，得b=2…（4分）
故橢圓C₁方程為

x2

8

+

y2

4

=1…（5分）
（II）點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)A（x₀，y₀）、B（x₀，-y₀）…（6分）
由于點(diǎn)A在橢圓C₁上，∴y02=4(1-

x02

8

)
由已知有

FA

=(x0-2，y0)，

FB

=(x0-2，-y0)…（7分）
則

FA

•

FB

=

x

2 0

-4x0+4-4(1-

x 2 0

8

)
=

3

2

x

2 0

-4x0=

3

2

(x0-

4

3

)2-

8

3

…（9分）
由于0-2

2

＜x0＜2

2

，
故當(dāng)x0=

4

3

時(shí)，

FA

•

FB

取得最小值為-

8

3

…（10分）
當(dāng)x0=

4

3

時(shí)，

y

2 0

=

28

9

，
又點(diǎn)A在拋物線C₂上，代入拋物線C₂方程得2p=

7

3

…（11分）
∴拋物線C₂方程為y2=

7

3

x…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查拋物線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．