Question

已知D是函數y=f（x），x∈[a，b]圖象上的任意一點，A，B該圖象的兩個端點，點C滿足

AC

=λ

AB

，

DC

•

i

=0（其中0＜λ＜1，

i

是y軸上的單位向量），若|

DC

|≤T（T為常數）在區(qū)間[a，b]上恒成立，則稱y=f（x）在區(qū)間[a，b]上具有“T性質”．現有函數：①y=2x+1；②y=

2

x

+1；③y=x²；④

OB

．則在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

性質”的函數為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由

AC

=λ

AB

，可得C點在線段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x軸，即C，D兩點的橫坐標相等，分別求出|

DC

|的長度，判斷是否滿足|

DC

|≤

1

4

即可得到結論．

解答： 解：由

AC

=λ

AB

，可得C點在線段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x軸，即C，D兩點的橫坐標相等．
①若y=f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，則A（1，3），B（2，5），函數y=f（x）的圖象即為線段AB，此時|

DC

|=0≤

1

4

恒成立，∴①滿足條件；
②若y=f（x）=

2

x

+1時，則A（1，3），B（2，2），線段AB的方程為y=-x+4，此時|

DC

|=-x+4-

2

x

-1=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，
當且僅當x=

2

時，取等號，
∵3-2

2

＜

1

4

，∴|

DC

|≤

1

4

，∴②滿足條件．
③若f（x）=x²．則A（1，1），B（2，4），線段AB的方程為y=3x-2，此時|

DC

|=-x²+3x-2=-（x-

3

2

）²+

1

4

，當x=

3

2

取最大值

1

4

，
滿足條件|

DC

|≤

1

4

，∴③滿足條件；
④若f（x）=x-

1

x

-

3

2

x+

3

2

．則A（1，0），B（2，

3

2

），線段AB的方程為y=

3

2

x-

3

2

，
此時|

DC

|=x-

1

x

-

3

2

x+

3

2

=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-2

x 2 • 1 x

=

3

2

-

2

，當且僅當x=

2

時，取等號，
∵

3

2

-

2

＜

1

4

，
∴滿足條件|

DC

|≤

1

4

，∴④滿足條件．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查的知識點函數恒成立問題，函數的值域，正確理解“T性質”的定義，是解答的關鍵．綜合性較強，難度交大．