已知－1≤x≤1，n≥2且n∈N，求證： (1－x)n+(1+x)n≤2n。

答案：
解析：

證明：∵－1≤x≤1，故可設(shè)x=cos2α，(0≤α≤)

則1－x=1－cos2α=2sin2α，

1+x=1+cos2α=2cos2α

∵n≥2，且n∈N

∴sin2n－2α≤1，cos2n－2α≤1

∴sin2nα≤sin2α，cos2nα≤cos2α

∴(1－x)n+(1+x)n

=2nsin2nα+2ncos2nα

≤2nsin2α+2ncos2α=2n

故原不等式(1－x)n+(1+x)n≤2n成立。


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若
1
2
＜t＜2，bn=
2an
1+
a
2
n
（n∈N*），求證：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜2n-2-
n
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）當(dāng)t=2時(shí)，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn＜
1
6

（Ⅲ）設(shè)cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)的和為Tn，求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）對(duì)于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，當(dāng)n≥k時(shí)，Tn＞m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(
13
)x．
（1）若f-1（mx2+mx+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=f2（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在實(shí)數(shù)m＞n＞3，使得g（x）的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）當(dāng)n=5時(shí)，求a2的值．
（2）設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
，求證：
n
2
＜Sn≤n，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若
1
2
＜t＜2，bn=
2an
1+
a2n
（n∈N*），求證：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜2n-2-
n
2
．

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