Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點(diǎn)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若

1

2

＜t＜2，b_n=

2an

1+ a 2 n

（n∈N^*），求證：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-2-

n

2

．

Answer 1

分析：（1）本題求數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列{a_n+1-a_n}，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可，要注意對t的討論．
（2）已知b_n，求出

1

bn

=

1

2

（tⁿ+t^-n），，接下來的關(guān)鍵是利用t的范圍，判斷2ⁿ+2^-n＞tⁿ+t^-n，也就求出

1

bn

＜

1

2

（2ⁿ+2^-n），從而求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

1

2

（1+

1

2n

），再利用均值不等式1+

1

2n

＞2

1 2n

的值，即可證明．

解答：解：（1）由題意得：f′（

t

）=0，
即3a_n-1t-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
則當(dāng)t≠1時，數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1
由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=t+（t²-t）[1+t+t²+…+t^n-2]
=t+（t²-t）•

1-tn-1

1-t

=tⁿ
此式對t=1也成立，所以a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）

1

bn

=

1

2

（a_n+

1

an

）=

1

2

（tⁿ+t^-n），
因?yàn)?span id="tdp99zt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

＜t＜2，所以（2t）ⁿ＞1，tⁿ＜2ⁿ．
則（2ⁿ+2^-n）-（tⁿ+t^-n）=

1

(2t)n

（2ⁿ-tⁿ）[（2t）ⁿ-1]＞0，
有

1

bn

＜

1

2

（2ⁿ+2^-n），
故

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

2

[（2+

1

2

）+（2²+

1

22

）+…+（2ⁿ+

1

2n

）]=2ⁿ-

1

2

（1+

1

2n

），
∵1+

1

2n

＞2

1 2n

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

1 2n

=2ⁿ-2-

n

2

即證．

點(diǎn)評：本題是關(guān)于求解數(shù)列相關(guān)問題的試題，是一道綜合題，本題主要運(yùn)用了函數(shù)的極值，均值不等式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等數(shù)學(xué)知識，對于（2）更是離不開平時的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)，需熟練掌握才行．