Question

設是由個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作：.其中 稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標. 如果數(shù)組中的每個“元”都是來自 數(shù)組中不同下標的“元”，則稱為的子數(shù)組. 定義兩個數(shù)組，的關系數(shù)為.

    （Ⅰ）若，，設是的含有兩個“元”的子數(shù)組，求的最大值；

    （Ⅱ）若，，且，為的含有三個“元”的子數(shù)組，求的最大值；

（Ⅲ）若數(shù)組中的“元”滿足.設數(shù)組含有四個“元”，且，求與的所有含有三個“元”的子數(shù)組的關系數(shù)的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當時，取得最大值為2．

（Ⅱ）①當是中的“元”時，由于的三個“元”都相等及中三個“元”的對稱性，可以只計算的最大值，其中．

由，

得 ．

當且僅當，且時，達到最大值，

于是．

②當不是中的“元”時，計算的最大值，

由于，

所以．

            ，

當且僅當時，等號成立．

即當時，取得最大值，此時．

綜上所述，的最大值為1．

（Ⅲ）因為滿足．

由關系的對稱性，只需考慮與的關系數(shù)的情況．

當時，有．

                       

                        ．

即，且，，時，

的最大值為．

當時，，

得最大值小于．

所以的最大值為．