Question

已知橢圓的短軸為2

3

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在橢圓上，且滿足△PF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l與橢圓交于A、B兩點，△ABO面積為

3

，判斷|OA|²+|OB|²是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用待定系數(shù)法，設(shè)出橢圓方程，由題意得，2b=2

3

，2a+2c=6，又a²=b²+c²，解出a，b即可；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y，運用韋達定理，弦長公式和三角形的面積公式，化簡整理，得到3+4k²=2m²，再由|OA|²+|OB|²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²代入化簡整理，即可得到為定值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由橢圓的短軸為2

3

，即有2b=2

3

，
由于△PF₁F₂的周長為6，則2a+2c=6，
又a²=b²+c²，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y，
得到：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

，
判別式△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即3+4k²＞m²，
點O到直線的距離d=

|m|

1+k2

，
弦長AB=

1+k2

|x₁-x₂|，
則△ABC面積為S=

1

2

d•|AB|=

1

2

1+k2

•|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

3

，
即有m²（

64k2m2

(3+4k2)2

-

16m2-48

3+4k2

）=12，化簡得，（3+4k²）²-4（3+4k²）m²+4m⁴=0，
即為（3+4k²-2m²）²=0，即3+4k²=2m²，檢驗判別式大于0，
則k²=

2m2-3

4

，x₁+x₂=

-4k

m

，x₁x₂=2-

6

m2

，
則|OA|²+|OB|²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2km（x₁+x₂）+2m²
=（1+

2m2-3

4

）[

16• 2m2-3 4

m2

-2（2-

6

m2

）]-

16× 2m2-3 4 ×m2

2m2

+2m²
=2m²+1-4m²+6+2m²=7．
故|OA|²+|OB|²為定值，且為7．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，弦長公式，和面積公式，考查化簡和整理的運算求解能力，具有一定的運算量，屬于綜合題．