Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=2S_n，求出a₂，a_n+1=2S_n，a_n=2S_n-1，n≥2，兩式相減，得到{a_n}是從第二面開始起的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=log₃1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=log3(2•3n-2)=log₃2+n-2，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a₂=2S₁=2a₁=2，
a_n+1=2S_n，a_n=2S_n-1，n≥2，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∴{a_n}是從第二面開始起的等比數(shù)列，
且公比q=

an+1

an

=3，
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=log₃1=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=log3(2•3n-2)=log₃2+n-2，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=（n-1）log₃2+

(n-1)(n+2)

2

-2（n-1），
∴Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

，
令n=1，T₁=0滿足，
Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．