Question

【題目】某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請第三方檢測機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計概率.

（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

（2）現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購買前，邀請第三方檢測機(jī)構(gòu)對要購買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測.買家、企業(yè)及第三方檢測機(jī)構(gòu)就檢測方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若檢測出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產(chǎn)品的檢測費用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）商場為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動.客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動一格（從到），若擲出反面，機(jī)器人向前移動兩格（從到），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束，若機(jī)器人停在“勝利大本營”，則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)器人移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否吸引顧客購買該款產(chǎn)品.

Answer 1

【答案】（1）（2）分布見解析，數(shù)學(xué)期望為41500；（3）證明見解析，此方案能吸引顧客購買該款產(chǎn)品.

【解析】

（1）根據(jù)條形圖，可得優(yōu)等品的頻率為，進(jìn)而可得其概率；（2）計算出的值可以為47000，39000，計算出其分別對應(yīng)的概率，得到分布列，進(jìn)而可得期望；（3）首先易得，，根據(jù)題意可得，化簡即可得，即為等比數(shù)列，利用累加法可得，再分別計算出獲勝和失敗的概率，比較大小即可得結(jié)果.

（1）根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為，用頻率估計概率，則任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為.

（2）由（1）任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為，

由題意，或

；

.

故的分布列為：

	47000	39000

所以數(shù)學(xué)期望.

（3）機(jī)器人在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到第1格，其概率.機(jī)器人移到第格的情況只有兩種：

①先到第格，又出現(xiàn)反面，其概率，

②先到第格，又出現(xiàn)正面，其概率.

所以，故

所以時，數(shù)列為首項，

公比為的等比數(shù)列.

所以，，，，，

以上各式累加，得，

所以

所以獲勝概率，

失敗概率

，所以獲勝概率更大，

故此方案能吸引顧客購買該款產(chǎn)品.