【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當時,;
(2)若有極大值,求的取值范圍;
(3)若在處取極大值,證明:.
【答案】(1)見證明 (2)(3)見證明
【解析】
(1)當時,,,研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可證明不等式;
(2)由題設得.由有極大值得有解,且.利用極大值定義即可建立a的不等關系;
(3)由(2)知:當時,有唯一的極大值點, 且,故,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
(1)證明:當時,,,
令,則.
∴當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.
∴當時,.
∴當時,,在上單調(diào)遞增.
∴當時,,即.
(2)解:由題設得.由有極大值得有解,且.
令,則.由得.
∴當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.
∴.
當,即時,,即,此時,在上單調(diào)遞增,無極值;
當,即時,
∴,.
由(1)知:,即.
∴存在,,使.
∴當時,,即單調(diào)遞增;當時,,
即單調(diào)遞減;當時,,即單調(diào)遞增.
∴是唯一的極大值點.
綜上所述,所求的取值范圍為.
(3)證明:由(2)知:當時,有唯一的極大值點,
且,故,
由(2)知:.
當時,,由(2)知:在上單調(diào)遞增.
∴當時,,即.
∴當時,.
綜上所述,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),給出下列四個命題:
①若是偶函數(shù),則的圖像關于直線對稱;
②若,則的圖像關于點對稱;
③若,且,則的一個周期為2;
④與的圖像關于直線對稱;
其中正確命題的序號為________
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 ,為個不同的冪函數(shù),有下列命題:
① 函數(shù) 必過定點;
② 函數(shù)可能過點;
③ 若 ,則函數(shù)為偶函數(shù);
④ 對于任意的一組數(shù)、、…、,一定存在各不相同的個數(shù)、、…、使得在上為增函數(shù).其中真命題的個數(shù)為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動圓C過定點F(2,0),且與直線x=-2相切,圓心C的軌跡為E,
(1)求圓心C的軌跡E的方程;
(2)若直線l交E與P,Q兩點,且線段PQ的中心點坐標(1,1),求|PQ|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為1的正三角形,點P在所在的平面內(nèi),且(a為常數(shù)),下列結(jié)論中正確的是( )
A.當時,滿足條件的點P有且只有一個
B.當時,滿足條件的點P有三個
C.當時,滿足條件的點P有無數(shù)個
D.當a為任意正實數(shù)時,滿足條件的點總是有限個
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【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0),且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若點M(,)在橢圓C上,不過原點O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,與直線OM相交于點N,且N是線段AB的中點,求△OAB面積的最大值.
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【題目】某企業(yè)為了提高企業(yè)利潤,從2014年至2018年每年都對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進進行投資,投資金額(單位:萬元)與年利潤增長量(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額/萬元 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
年利潤增長量/萬元 | 6.0 | 7.0 | 9.0 | 11.0 | 12.0 |
(1)記年利潤增長量投資金額,現(xiàn)從2014年至2018年這5年中抽出兩年進行調(diào)查分析,求所抽兩年都是萬元的概率;
(2)請用最小二乘法求出關于的回歸直線方程;如果2019年該企業(yè)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)改進的投資金額為10萬元,試估計該企業(yè)在2019年的年利潤增長量為多少?
參考公式:,;
參考數(shù)據(jù):,.
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