Question

如圖所示，已知在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且AD=DC=PA=

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2

AB=a．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）試在線(xiàn)段PB上找一點(diǎn)M，使CM∥平面PAD，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)M是由（Ⅱ）中確定的，且PA⊥AB，求四面體MPAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過(guò)C作CE⊥AB，垂足為E，證明AC⊥BC．結(jié)合BC⊥PC，通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）當(dāng)M為PB中點(diǎn)時(shí)，CM∥平面PAD．證明：取AP中點(diǎn)為F，連接CM，F(xiàn)M，DF證明CM∥DF．通過(guò)直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明CM∥平面PAD．
（Ⅲ）法一：利用VM-PAC=

1

2

VB-PAC，求出底面面積與高，即可求解幾何體的體積．
法二：通過(guò)證明CE⊥面PAM，利用VM-PAC=VC-PAM=

1

3

•CE•S△PAM．求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）過(guò)C作CE⊥AB，垂足為E，
又已知在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，
∴四邊形ADCE是正方形，
∴∠ACD=∠ACE=45°．
又∵AE=CD=

1

2

AB，
∴BE=AE=CE．
∴∠BCE=45°．
∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵BC⊥PC，AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．

（Ⅱ）當(dāng)M為PB中點(diǎn)時(shí)，CM∥平面PAD．
證明：取AP中點(diǎn)為F，連接CM，F(xiàn)M，DF．則FM∥AB，且FM=

1

2

AB
∵CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴FM∥CD，F(xiàn)M=CD．
∴四邊形CDFM為平行四邊形，
∴CM∥DF．
∵DF?平面PAD，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．

（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，M為PB中點(diǎn)，所以點(diǎn)M到平面PAC的距離等于

1

2

BC，VM-PAC=

1

2

VB-PAC．                                   
在△BPA中，
∵PA⊥AB，
∴PB=

5

a，
所以在△BCP中，PC=

3

a，
在△PAC中，PC=

3

a，AC=

2

a，PA=a，
∴△PAC是Rt△，S=

1

2

a•

2

a=

2

2

a2，
VM-PAC=

1

2

VB-PAC=

1

6

•BC•S△PAC=

1

6

.

2

a•

2 a2

2

=

1

6

a3．
法二：也可以利用VM-PAC=VC-PAM=

1

3

•CE•S△PAM=

1

3

.

1

2

•a•a•a=

1

6

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線(xiàn)與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力空間想象能力．