Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-∞，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增在（3，+∞）上單調遞減，且函數(shù)圖象在（2，f（2））處的切線與直線5x+y=0垂直．
（Ⅰ）求實數(shù)a、b、c的值；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）=0有三個不相等的實數(shù)根，求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導可得，f′（x）=3ax²+2bx+c，由題意可得，所以f′（1）=2a+2b+c=0，f′（3）=27a+6b+c=0．聯(lián)立可求a，b，c
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x），由x=1和x=3分別是函數(shù)f（x）的極小值點和極大值點，且當x取負值且絕對值足夠大時，y取正值，當x時正值且足夠大時，y取負值，則方程f（x）=0有三個不相等的實數(shù)根的充要條件為，代入可求
解答：解：（Ⅰ）對函數(shù)求導可得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)圖象在（2，f（2））處的切線與直線5x+y=0垂直，
∴．①
由已知可知，1和3為方程f′（x）=0的兩根，所以f′（1）=2a+2b+c=0，②
f′（3）=27a+6b+c=0．③
由①、②、③解得，，．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∵x=1和x=3分別是函數(shù)f（x）的極小值點和極大值點，且當x取負值且絕對值足夠大時，y取正值，當x時正值且足夠大時，y取負值．（8分）
所以方程f（x）=0有三個不相等的實數(shù)根的充要條件為即
所以d的取值范圍為．（12分）
點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義：導數(shù)在某點處的導數(shù)即為改點的切線的斜率，導數(shù)的極值存在的條件的應用及利用函數(shù)與方程的相互轉化求解參數(shù)的范圍，屬于導數(shù)知識的綜合應用．