Question

已知橢圓：，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；   

(II) 已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn).

（i）若直線的斜率都存在，證明：;

(ii) 若，直線分別與直線相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交

于點(diǎn)（異于點(diǎn)）， 求證：,,三點(diǎn)共線.

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，橢圓的焦點(diǎn)為，則，

解得，所以.     

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.   ……………5分

（Ⅱ）(i)證明：設(shè)，則

兩式作差得.

因?yàn)橹本�的斜率都存在，所以.

所以 ，即.

所以，當(dāng)的斜率都存在時(shí)， .   ……………9分

(ii) 證明：時(shí)， .

設(shè)的斜率為，則的斜率為，

直線，_，

直線, ，

所以直線，直線，

聯(lián)立，可得交點(diǎn).        

因?yàn)?sub>，

所以點(diǎn)在橢圓上.  

即直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上，即，，三點(diǎn)共線.   ……………14分