Question

20．已知命題p：關(guān)于x的方程x²+ax+4=0在區(qū)間[1，3]上有根，命題q：函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+a²-13）在開區(qū)間（-∞，3]上遞減，在下列條件下，分別求a的取值范圍．
（1）p是真命題；
（2）q是真命題；
（3）p∧q是假命題，p∨q是真命題．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=-a和y=x+$\frac{4}{x}$的交點個數(shù)問題，x∈[1，3]，求出y=x+$\frac{4}{x}$的單調(diào)性，得到其值域，x∈[1，3]，從而求出a的范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為p，q一真一假，通過討論得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）關(guān)于P：∵x的方程x²+ax+4=0，
∴-a=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，3]，
∵g（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，3]，
g′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：2＜x＜3，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在[1，2）遞減，在（2，3）遞增，
∴g（x）_min=g（2）=4，g（x）_max=g（1）=5，
∵方程x²+ax+4=0在區(qū)間[1，3]上有實數(shù)根，
∴4≤-a≤5，
∴p為真時：-5≤a≤-4，
（2）若函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+a²-13）在開區(qū)間（-∞，3]上遞減，
則x²+ax+a²-13在區(qū)間（-∞，3]上遞減，
對稱軸為 x=-$\frac{a}{2}$，
∴-$\frac{a}{2}$≥3，解得：a≤-6，
∴q為真時：a≤-6，
（3）若p∧q是假命題，p∨q是真命題，則p，q一真一假，
①p真q假時：$\left\{\begin{array}{l}{-5≤a≤-4}\\{a＞-6}\end{array}\right.$，解得：：-5≤a≤-4；
②p假q真時：$\left\{\begin{array}{l}{a＞-4或a＜-5}\\{a≤-6}\end{array}\right.$，解得：a≤-6．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，復合命題的判斷，是一道中檔題．