【題目】已知拋物線,圓.
(1)若拋物線的焦點在圓上,且為 和圓 的一個交點,求;
(2)若直線與拋物線和圓分別相切于點,求的最小值及相應(yīng)的值.
【答案】(1);(2)的最小值為,此時.
【解析】
試題分析:(1)首先求得焦點的坐標(biāo),由此求得拋物線的方程,然后聯(lián)立拋物線與圓的方程求得,最后利用拋物線的定義求得的長;(2)設(shè),由此設(shè)出直線切線的方程,然后根據(jù)求得與的關(guān)系式,從而求得關(guān)于的關(guān)系式,進(jìn)而利用基本不等式求得其最小值,以及的值.
試題解析:(1)由題意得F(1,0),從而有C:x2=4y.
解方程組,得yA=-2,所以|AF|=-1. …5分
(2)設(shè)M(x0,y0),則切線l:y=(x-x0)+y0,
整理得x0x-py-py0=0. …6分
由|ON|=1得|py0|==,
所以p=且y-1>0, …8分
所以|MN|2=|OM|2-1=x+y-1=2py0+y-1
=+y-1=4++(y-1)≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y0=時等號成立,
所以|MN|的最小值為2,此時p=. …12分
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,相互垂直的直線過定點與曲線相交于兩點, 與曲線相交于兩點.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,在底面ABCD中,AD//BC,AD⊥CD,Q是AD的中點,M是棱PC的中點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=,PB=.
(Ⅰ)求證:平面PAD⊥底面ABCD;
(Ⅱ)試求三棱錐B-PQM的體積.
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【題目】某社區(qū)為了解居民參加體育鍛煉的情況,從該社區(qū)隨機(jī)抽取了18名男性居民和12名女性居民,對他們參加體育鍛煉的情況進(jìn)行問卷調(diào)查.現(xiàn)按是否參加體育鍛煉將居民分成兩類:甲類(不參加體育鍛煉)、乙類(參加體育鍛煉),結(jié)果如下表:
甲類 | 乙類 | |
男性居民 | 3 | 15 |
女性居民 | 6 | 6 |
(Ⅰ)根據(jù)上表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表;
男性居民 | 女性居民 | 總計 | |
不參加體育鍛煉 | |||
參加體育鍛煉 | |||
總計 |
(Ⅱ)通過計算判斷是否有90%的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否與性別有關(guān)?
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【題目】【2018湖南(長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué))、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)(其中且為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)若函數(shù)的極值點只有一個,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時,若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.
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【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)已知函數(shù),利用上述性質(zhì),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)已知函數(shù)=和函數(shù),若對任意,總存在,使得(x2)=成立,求實數(shù)的值.
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【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為;兩人租車時間都不會超過四小時.
(1)求出甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;
(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元時的概率.
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【題目】某糕點房推出一類新品蛋糕,該蛋糕的成本價為4元,售價為8元.受保質(zhì)期的影響,當(dāng)天沒有銷售完的部分只能銷毀.經(jīng)過長期的調(diào)研,統(tǒng)計了一下該新品的日需求量.現(xiàn)將近期一個月(30天)的需求量展示如下:
日需求量x(個) | 20 | 30 | 40 | 50 |
天數(shù) | 5 | 10 | 10 | 5 |
(1)從這30天中任取兩天,求兩天的日需求量均為40個的概率.
(2)以上表中的頻率作為概率,列出日需求量的分布列,并求該月的日需求量的期望.
(3)根據(jù)(2)中的分布列求得當(dāng)該糕點房一天制作35個該類蛋糕時,對應(yīng)的利潤的期望值為;現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天45個,求利用利潤的期望值判斷此建議該不該被采納.
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【題目】如圖,已知點是圓心為半徑為的半圓弧上從點數(shù)起的第一個三等分點,點是圓心為半徑為的半圓弧的中點,、分別是兩個半圓的直徑,,直線與兩個半圓所在的平面均垂直,直線、共面.
(1)求三棱錐的體積;
(2)求直線與所成角的余弦值.
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