Question

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，點(diǎn)A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)．點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若P(－1，)，PA是⊙O的切線(xiàn)，求橢圓C的方程；

（2）是否存在這樣的橢圓C，使得是常數(shù)？

如果存在，求C的離心率；如果不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）∵P(－1，)在⊙O：x2＋y2＝b2，∴b2＝4． …………………2分

又∵PA是⊙O的切線(xiàn)，∴PA⊥OP，∴·＝0，

即(－1，)·(－1＋a，)＝0，解得a＝4．                     

∴橢圓C的方程為＋＝1．                     ……………………………5分

（2）設(shè)F(c，0)，c2＝a2－b2，

設(shè)P(x1，y1)，要使得是常數(shù)，則有(x1＋a)2＋y12＝l[(x1＋c)2＋y12]，l是常數(shù)．

即b2＋2ax1＋a2＝l(b2＋2cx1＋c2)，                  ……………………………8分

比較兩邊， b2＋a2＝l(b2＋c2)，a＝lc，             ……………………………10分

   故cb2＋ca2＝a(b2＋c2)，即ca2－c3＋ca2＝a3，

即e3－2 e＋1＝0，                               ……………………………12分

 (e－1)( e2＋e－1)＝0，符合條件的解有e＝，

即這樣的橢圓存在，離心率為．              ……………………………16分