已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓CAB兩點(diǎn),N為弦AB的中點(diǎn)。

(1)求直線ONO為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率KON

(2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ,試證:總存在角∈R)使等式:cossin成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)

(2)見(jiàn)解析


解析:

 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?img width=56 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/24/98024.gif">,所以有,故有。從而橢圓C的方程可化為:      ①                     ………2分

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(),

據(jù)題意有AB所在的直線方程為:   ②                     ………3分

由①,②有:         ③

設(shè),弦AB的中點(diǎn),由③及韋達(dá)定理有:

 

所以,即為所求。                                    ………5分

(2)顯然可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使得等式成立。設(shè),由1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有:

,所以

。                                   ………7分

又點(diǎn)在橢圓C上,所以有整理為。           ④

由③有:。所以

   ⑤

又A﹑B在橢圓上,故有                ⑥

將⑤,⑥代入④可得:。                                ………11分

對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn),總存在一對(duì)實(shí)數(shù),使等式成立,而

在直角坐標(biāo)系中,取點(diǎn)P(),設(shè)以x軸正半軸為始邊,以射線OP為終邊的角為,顯然 。

也就是:對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ,總存在角∈R)使等式:cossin成立。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(08年泉州一中適應(yīng)性練習(xí)文)(12分)已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓CA,B兩點(diǎn),N為弦AB的中點(diǎn)。

(1)求直線ONO為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率KON

(2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ,試證:總存在角∈R)使等式:cossin成立。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年湖北重點(diǎn)中學(xué)4月月考理)(13分

已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓CA,B兩點(diǎn),N為弦AB

(1)求直線ONO為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率KON ;

1)           (2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ,試證:總存在角∈R)使等式:cossin成立

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓CAB兩點(diǎn),N為弦AB的中點(diǎn)。

(1)求直線ONO為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率KON

(2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ,試證:總存在角∈R)使等式:cossin成立。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆湖北省武漢市高三9月調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案