已知F1、F2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，線段F1P的中點(diǎn)在y軸上，
PF1
•
PF2
=
1
16
a2．傾斜角等于
π
3
的直線l經(jīng)過(guò)F1，與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設(shè)△F1PF2的周長(zhǎng)為2+
3
，求△ABF2的面積S的值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|PF2|=
b2
a
=
1
16
a2，從而得到3a2=4c2，由此能求出橢圓E的離心率．
（2）由已知條件推導(dǎo)出2a+2c=2+
3
，從而得到
a=1
c=
3
2
，進(jìn)而求出橢圓E的方程為x2+4y2=1，直線l的方程為2
3
x-2y+3=0．由此能求出△ABF2的面積S的值．
解答： 解：（1）∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左右焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，
線段F1P的中點(diǎn)在y軸上，
∴PF2⊥x軸，∴|PF2|=
b2
a
，
又∵
PF1
•
PF2
=
1
16
a2，
∴|PF2|2=
1
16
a2，∴
b2
a
=
1
4
a，
∴a2=4b2，∴a2=4（a2-c2），化簡(jiǎn)得3a2=4c2，
∴
c
a
=
3
2
，
∴橢圓E的離心率e=
3
2
．
（2）∵△F1PF2的周長(zhǎng)為2+
3
，∴2a+2c=2+
3
，
解方程組
2a+2c=2+
3
c
a
=
3
2
，得
a=1
c=
3
2
，
∴b2=
1
4
，
∴橢圓E的方程為x2+4y2=1，
由已知得直線l的方程為y=
3
（x+
3
2
），即2
3
x-2y+3=0．
∴F2(
3
2
，0)到直線l的距離d=
3
2
，
由
y=
3
(x+
3
2
)
x2+4y2=1
，得13x2+12
3
x+8=0，
∴x1+x2=-
12
3
13
，x1x2=
8
13
，
∴|AB|=2
(x1+x2)2-4x1x2
=2
(-
12
3
13
)2-4×
8
13
=
8
13
，
∴S=
1
2
|AB|d=
1
2
×
8
13
×
3
2
=
6
13
．
∴△ABF2的面積S的值等于
6
13
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查三角形的面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在[-1，2]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則|x-1|≤1的概率是（　�。�
A、
2
3
B、
1
3
C、
1
4
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ln(x+1)
ax+1
．
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求證：
(3x-1)ln(x+1)
x-1
+
(3y-1)ln(y+1)
y-1
+
(3z-1)ln(z+1)
z-1
≤0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
2
2
，且橢圓過(guò)點(diǎn)（1，1），過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿足MA=MB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
的值；
（3）是否存在定圓，使得直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AM恒與該定圓相切，若存在，求出圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+
k
2
x2，（k＞0，且k≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)k=0時(shí)，設(shè)f（x）在區(qū)間[0，n]（n∈N*）上的最小值為bn，令an=ln（1+n）-bn，
求證：
a1
a2
+
a1a3
a2a4
+…+
a1a3…a2n-1
a2a4..a2n
＜
2an+1
-1，（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4
5
，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）若直線l不經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，
2
2
）在橢圓上C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l1：y=kx+m，l2：y=kx-m，若l1、l2均與橢圓C相切，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)M，點(diǎn)M到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，PA與圓O相切于A，不過(guò)圓心O的割線PCB與直徑AE相交于D點(diǎn)．已知∠BPA=30°，AD=2，PC=1，則圓O的半徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

假設(shè)在時(shí)間間隔T內(nèi)的任何時(shí)刻，兩條不相關(guān)的短信機(jī)會(huì)均等地進(jìn)入同一臺(tái)手機(jī)．若這兩條短信進(jìn)入手機(jī)的間隔時(shí)間不大于t（0＜t＜T）稱(chēng)手機(jī)受到干擾，則手機(jī)受到干擾的概率是（　�。�
A、（
t
T
）2
B、（1-
t
T
）2
C、1-（
t
T
）2
D、1-（1-
t
T
）2

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