Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，長軸長為4

5

，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）若直線l不經(jīng)過橢圓上的點M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出2a=4

5

，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，得5x²+8mx+4m²-20=0，利用根的判斷式能求出m的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)A（x1，y1 ），B（x₂，y₂），k₁+k₂=

y1 -1

x1 -4

+

y2-1

x2-4

，由此利用韋達定理能證明直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，長軸長為4

5

，
∴2a=4

5

，e=

c

a

=

3

2

，
解得a=2

5

，c=

15

，b=

5

，
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1．…（4分）
（Ⅱ）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，并整理，得：
5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，
解得-5＜m＜5，
∴m的取值范圍是（-5，5）．
（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
設(shè)A（x1，y1 ），B（x₂，y₂），則由（Ⅱ）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
k₁+k₂=

y1 -1

x1 -4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
∵分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0，
∴k₁+k₂=0，
∴直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查兩直線的斜率互為相反數(shù)的證明，解題時要注意根的判別式和韋達定理的合理運用．