Question

已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，

2

2

）在橢圓上C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=kx+m，l₂：y=kx-m，若l₁、l₂均與橢圓C相切，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)M，點(diǎn)M到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意可知：

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）把直線l₁的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由于直線與橢圓相切，可得△=0，m²=1+2k²．設(shè)M（t，0），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得m，k，t的關(guān)系式，代入星期日m即可得出t的值．

解答： 解：（I）由題意可知：

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得b=c=1，a²=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（II）把直線l₁的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得

y=kx+m x2+2y2=2

，
化為（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直線l₁與橢圓相切，∴△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化為m²=1+2k²．
同理把直線l₂的方程與橢圓的方程聯(lián)立也可得m²=1+2k²．
假設(shè)存在定點(diǎn)M（t，0）滿足條件，則

|kt+m|

1+k 2

•

|kt-m|

1+k2

=1，
化為|k²t²-m²|=1+k²，
把m²=1+2k²代入上式化為k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0．
其中k²（t²-3）=2不是對(duì)于任意k恒成立，應(yīng)舍去．
由k²（t²-1）=0對(duì)于任意k恒成立，可得t=±1．
綜上可知：滿足題意的點(diǎn)M存在，為（±1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．