如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）已知△ABF2的周長為8，即4a=8，求得a，再由△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形可得橢圓的離心率，則c可求，進(jìn)一步求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式等于0得到k與m的關(guān)系，從而求得直線與橢圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線y=kx+m與x=4聯(lián)立求得Q的坐標(biāo)，然后利用取特殊值法求得以PQ為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步證明
MP
•
MQ
=0得答案．
解答： 解：（1）∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8，
∴4a=8，a=2．
∵△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形，
∴e=
1
2
，即
c
a
=
1
2
，
∴c=1，
∴b2=a2-c2=3．
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0，y0），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0．
∴4k2-m2+3=0．
此時(shí)x0=-
4km
4k2+3
=-
4k
m
，y0=
3
m
，
即P（-
4k
m
，
3
m
）
由
y=kx+m
x=4
，得Q（4，4k+m）．
取k=0，m=
3
，此時(shí)P（0，
3
），Q（4，
3
），
以PQ為直徑的圓為（x-2）2+（y-
3
）2=4，交x軸于點(diǎn)M1（1，0）或M2（3，0）．
取k=-
1
2
，m=2，此時(shí)P（1，
3
2
），Q（4，0），
以PQ為直徑的圓為（x-
5
2
）2+（y-
3
4
）2=
45
16
，交x軸于點(diǎn)M3（1，0）或M4（4，0）．
故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），
證明如下∵
MP
=(-
4k
m
-1，
3
m
)，
MQ
=(3，4k+m)，
∴
MP
•
MQ
=-
12k
m
-3+
12k
m
+3=0
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M（1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了特值化思想在解題中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是高考試卷中的壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長線于點(diǎn)F．求證．
（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）AB2=BE•BD-AE•AC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線L：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOA•kOB=-
b2
a2
，求證：△AOB的面積為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)（1，
2
2
），右焦點(diǎn)為F2．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-
1
2
，線段AB的中垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，
2
)，線段FA的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與拋物線相切于點(diǎn)P，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．
（1）求p的值；
（2）試判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)M，使得圓C恒過點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ACBD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于M，AC⊥BD，E是DC中點(diǎn)連結(jié)EM交AB于F，作OH⊥AB于H，求證：
（1）EF⊥AB          
（2）OH=ME．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)，直線l：y=
3
x-3經(jīng)過橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)（0，b）到直線l的距離為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）A、B、C是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|AC|=|CB|．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知雙曲線x2-y2=a2（其中a＞0）．
（1）若定點(diǎn)A（4，0）到雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為
5
，求a的值；
（2）若過雙曲線的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為α的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，其中α∈（
π
4
，
3π
4
），F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)．求△F2MN的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)變量x，y滿足約束條件
x+2y≥2
2x+y≤4
4x-y≥-1
，則3x-y的最大值為
 
．

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