Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．
（1）求證：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，求$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|兩邊平方后整理，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，從而得到$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）由題意畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 （1）證明：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$，即$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，
展開(kāi)得：$（\overrightarrow{a}）^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（\overrightarrow）^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（\overrightarrow）^{2}$，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）解：如圖，
 
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$∠OBA=\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角θ=$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積與向量垂直間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．