Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R），
（Ⅰ）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在，請說明理由？

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運用單調(diào)性的定義，即可判斷，注意作差、變形，判斷符號；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=0，即可得到a．注意檢驗．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在R上遞增．
理由如下：令m＜n，則f（m）-f（n）=（a-

1

2m+1

）-（a-

1

2n+1

）
=

1

2n+1

-

1

2m+1

=

2m-2n

(2m+1)(2n+1)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，
則f（m）-f（n）＜0，即有函數(shù)f（x）在R上遞增．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=0，即a-1═0，即a=1．
則函數(shù)f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
f（-x）+f（x）=

2-x-1

2-x+1

+

2x-1

2x+1

=0，
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．