Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點且傾斜角為.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，l與C交于M，N兩點.

（1）求C的直角坐標(biāo)方程和的取值范圍；

（2）求MN中點H的軌跡的參數(shù)方程.

Answer 1

【答案】（1）；或（2）（為參數(shù)，且或）.

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換．

（2）利用直線的垂直的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．

解：(1)C的直角坐標(biāo)方程為，

即，是以原點為圓心的單位圓

當(dāng)時，顯然直線l與曲線C相離，不合題意.

∴，所以直線l的斜率存在.

∴直線l的方程可寫為

∵直線l與曲線C交于M，N兩點，

∴圓心O到直線l的距離，

解得

∴或.

(2)(法一)直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)，或)

設(shè)M，N，H對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，

將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：

∴，∴，

又點H的坐標(biāo)滿足，

(t為參數(shù)，或)

∴點H的軌跡的參數(shù)方程為

即(為參數(shù)，或)

(法二)

設(shè)點，則由可知，

當(dāng)時有

即，整理得

當(dāng)時，點H與原點重合，也滿足上式.

∴點H的軌跡的參數(shù)方程為

(為參數(shù)，且或).