【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓.

1)求橢圓的方程;

2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之和為1,試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

1)先利用橢圓定義求出的值,結(jié)合的值可求出的值,從而得出橢圓的方程;

2)先假設(shè)直線的斜率存在,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,再依據(jù)兩直線斜率之和為1,得出含有的式子,利用因式分解,可得的關(guān)系,最后討論不存在的情況即可.

解:(1)易知,橢圓的左焦點(diǎn)為,由橢圓定義可得,∴,

所以,,因此,橢圓的方程為;

2)設(shè)點(diǎn)、

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,易知.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去,

由韋達(dá)定理得,.

直線和直線的斜率之和為.

化簡(jiǎn)得,即,

由于,所以,,所以,.

所以,直線的方程為,直線過(guò)定點(diǎn)

②當(dāng)直線軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,則,直線和直線的斜率之和為,得.

此時(shí),直線也過(guò)點(diǎn).

綜上所述,直線過(guò)定點(diǎn).

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