【題目】已知函數(shù),
的最大值為
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令
,是否存在區(qū)間
.使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域?yàn)?/span>
若存在,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1) ;(2)
時(shí),
在
單調(diào)增;
時(shí),
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增;
時(shí),同理
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增;(3)不存在.
【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),
取得極大值,也是最大值,
由,可得結(jié)果;(2)求出
,分三種情況討論
的范圍,在定義域內(nèi),分別令
求得
的范圍,可得函數(shù)
增區(qū)間,
求得
的范圍,可得函數(shù)
的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間
,使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域是
,則
,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,進(jìn)而可得結(jié)果.
詳解:(1) 由題意得,
令,解得
,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí),
取得極大值,也是最大值,
所以,解得
.
(2)的定義域?yàn)?/span>
.
①即
,則
,故
在
單調(diào)增
②若,而
,故
,則當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)及
時(shí),
故在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增。
③若,即
,同理
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
(3)由(1)知,
所以,令
,則
對(duì)
恒成立,所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,
所以恒成立,
所以函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.
假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域是
,
則,
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根, 即方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,
令,
,則
,
設(shè),
,則
對(duì)
恒成立,所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,
故恒成立,所以
,所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,所以方程
在區(qū)間
內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.
綜上所述,不存在區(qū)間,使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x交于不同的兩點(diǎn)A、B,若x軸是∠APB的角平分線(xiàn),則直線(xiàn)l一定過(guò)點(diǎn)
A. (,0) B. (1,0) C. (2,0) D. (-2,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某汽車(chē)公司對(duì)最近6個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表;
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場(chǎng)占有率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(1)可用線(xiàn)性回歸模型擬合與
之間的關(guān)系嗎?如果能,請(qǐng)求出
關(guān)于
的線(xiàn)性回歸方程,如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)公司決定再采購(gòu)兩款車(chē)擴(kuò)大市場(chǎng),
兩款車(chē)各100輛的資料如表:
車(chē)型 | 報(bào)廢年限(年) | 合計(jì) | 成本 | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
10 | 30 | 40 | 20 | 100 | 1000元/輛 | |
15 | 40 | 35 | 10 | 100 | 800元/輛 |
平均每輛車(chē)每年可為公司帶來(lái)收入元,不考慮采購(gòu)成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車(chē)的使用壽命部是整數(shù)年,用每輛車(chē)使用壽命的頻率作為概率,以每輛車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的平均數(shù)作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購(gòu)哪款車(chē)型?
參考數(shù)據(jù): ,
,
,
.
參考公式:相關(guān)系數(shù);
回歸直線(xiàn)方程為,其中
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,
平面
,
,
,
,點(diǎn)
在線(xiàn)段
上,且
,
為線(xiàn)段
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段,
…
后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上異于點(diǎn)P,
,平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F
求證:
;
若
,求證:平面
平面ABCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)若曲線(xiàn)存在斜率為-1的切線(xiàn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)
時(shí),
在
上存在極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
若
是函數(shù)
的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
若對(duì)任意的
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
,都有
成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng),
為線(xiàn)段
的中點(diǎn),則使△
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角三角形的點(diǎn)
的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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