【題目】已知函數(shù),的最大值為.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,是否存在區(qū)間.使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(1) ;(2) 時(shí),單調(diào)增;時(shí), 單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時(shí),同理單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.

【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí), 取得極大值,也是最大值,

,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,進(jìn)而可得結(jié)果.

詳解(1) 由題意得,

,解得,

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí), 取得極大值,也是最大值,

所以,解得.

(2)的定義域?yàn)?/span>.

,則,故單調(diào)增

②若,而,故,則當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),

單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

③若,即,同理單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增

(3)由(1)知,

所以,令,則對(duì)恒成立,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

所以恒成立,

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,

,

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根, 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,

,則,

設(shè), ,則對(duì)恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

恒成立,所以,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.

綜上所述,不存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.

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【題目】某汽車公司對(duì)最近6個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表;

月份代碼

1

2

3

4

5

6

市場(chǎng)占有率

11

13

16

15

20

21

(1)可用線性回歸模型擬合之間的關(guān)系嗎?如果能,請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程,如果不能,請(qǐng)說明理由;

(2)公司決定再采購(gòu)兩款車擴(kuò)大市場(chǎng), 兩款車各100輛的資料如表:

車型

報(bào)廢年限(年)

合計(jì)

成本

1

2

3

4

10

30

40

20

100

1000元/輛

15

40

35

10

100

800元/輛

平均每輛車每年可為公司帶來收入元,不考慮采購(gòu)成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車的使用壽命部是整數(shù)年,用每輛車使用壽命的頻率作為概率,以每輛車產(chǎn)生利潤(rùn)的平均數(shù)作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購(gòu)哪款車型?

參考數(shù)據(jù): ,,,.

參考公式:相關(guān)系數(shù);

回歸直線方程為,其中.

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(2)若,求三棱錐的體積.

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2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分.

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求證:;

,求證:平面平面ABCD

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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