Question

【題目】已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ；

∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；

解得：a=﹣1；

此時(shí) ；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)f′（x）＜0，符合題意；

∴實(shí)數(shù)a的值為﹣1

（2）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

∴ 在（0，+∞）恒成立；

即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；

當(dāng)a＜0時(shí)，顯然不符合題意；

當(dāng)a=0時(shí)，1≥0恒成立，符合題意；

當(dāng)a＞0時(shí)，要使 恒成立；

需 ，解得0＜a≤8；

綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，8]

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)得到 ，根據(jù)f（x）在x=1處有極值便可得到f′（1）=0，從而可求出a的值，并可驗(yàn)證該值成立；（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增便可得出f′（x）≥0恒成立，進(jìn)而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，這樣討論a的值：a＜0，a=0，和a＞0這三種情況，對(duì)每種情況驗(yàn)證是否滿足條件，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．