Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

1

2

AA₁=2，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．
（1）證明：DC₁⊥BC；
（2）求四面體BCDC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得A₁D=AD=2，從而∠ADC=45°，∠A₁DC₁=45°，進而DC⊥DC₁，再由DB⊥DC₁，能證明DC₁⊥BC．
（2）由CC₁⊥BC，DC₁⊥BC，能證明BC⊥平面ACC₁A₁，由此能求出四面體BCDC₁的體積．

解答： （1）證明：∵D是棱AA₁的中點，∴A₁D=AD=2，
∴在Rt△DAC中，AC=AD=2，∴∠ADC=45°，
同理，得∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°，
∴DC⊥DC₁，
又DB⊥DC₁，∴DC₁⊥平面BCD，
∴DC₁⊥BC．
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥BC，由（1）得DC₁⊥BC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴VB-CDC1=

1

3

×BC×S△CDC1=

1

3

×2×

1

2

×2×4=

8

3

，
∴四面體BCDC₁的體積為

8

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系及性質的合理運用．