【題目】已知函數(shù)f(x)=( x , 其反函數(shù)為y=g(x).
(1)若g(mx2+2x+1)的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當x∈[﹣1,1]時,求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在實數(shù)m>n>3,使得函數(shù)y=h(x)的定義域為[n,m],值域為[n2 , m2],若存在,求出m、n的值;若不存在,則說明理由.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=( x,則其反函數(shù)為y=g(x)= =﹣log3x.

∴g(mx2+2x+1)=﹣ ,

當m≤0時,g(mx2+2x+1)的定義域不為R,舍去.

當m>0時,g(mx2+2x+1)的定義域為R,則 ,解得m>1.

∴實數(shù)m的取值范圍是(1,+∞)


(2)解:函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3= ﹣2a +3,

∵x∈[﹣1,1]時,令 =t∈ ,

∴y=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2=u(t),對稱軸t=a.

當a 時,u(t)在t∈ 上單調(diào)遞增,∴t= 時,u(t)取得最小值u( )=

當a≥3時,u(t)在t∈ 上單調(diào)遞減,∴t=3時,u(t)取得最小值u(3)=12﹣6a.

<a<3時,u(t)在t∈ 上單調(diào)遞減,在t∈[a,3]上單調(diào)遞增,∴t=a時,u(t)取得最小值u(a)=3﹣a2

綜上可得:最小值h(a)=


(3)解:存在實數(shù)m>n>3,使得函數(shù)y=h(x)=﹣6x+12的定義域為[n,m],值域為[n2,m2],

,可得:m2﹣6m+24=0,由于△=36﹣96<0,因此上述方程無解.

于是假設(shè)不成立,

因此不存在實數(shù)m>n>3,使得函數(shù)y=h(x)=﹣6x+12的定義域為[n,m],值域為[n2,m2].


【解析】(1)函數(shù)f(x)=( x , 則其反函數(shù)為y=g(x)= .可得g(mx2+2x+1)=﹣ ,當m≤0時,舍去.當m>0時,g(mx2+2x+1)的定義域為R,可得 ,解得m即可得出.(2)函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3= ﹣2a +3,x∈[﹣1,1]時,令 =t∈ ,y=(t﹣a)2+3﹣a2=u(t),對稱軸t=a.對a與 ,3的大小分類討論,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.(3)存在實數(shù)m>n>3,使得函數(shù)y=h(x)=﹣6x+12的定義域為[n,m],值域為[n2 , m2],可得 ,解出即可判斷出結(jié)論.

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