【題目】已知和定點,由外一點引切線,切點為,且滿足.(1)求實數(shù)間滿足的等量關(guān)系;

(2)求線段長的最小值;

(3)若以為圓心所作的有公共點,試求半徑取最小值時的方程.

【答案】(1).(2).(3).

【解析】試題分析:(1由勾股定理可得,化簡可得實數(shù)間滿足的等量關(guān)系;2)由于,根據(jù)間的等量關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段長的最小值;3解法一設(shè)的半徑為,根據(jù)題設(shè)條件可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值此時,求得 取得最小值,從而得到圓的方程;解法二:根據(jù)的軌跡設(shè)出直線有公共點,欲求半徑最小,即為外切時半徑最小,然后可求出半徑最小值及垂直直線的方程即可求出此時圓心的坐標,故而求出方程.

試題解析:(1)連

為切點, ,由勾股定理有

又由已知,故.即: .

化簡得實數(shù)間滿足的等量關(guān)系為: .

2)由,得.

.

故當時, 即線段長的最小值為.

3解法一設(shè)的半徑為

有公共點, 的半徑為1

..

,

故當時, .此時, , .

得半徑取最小值時的方程為.

解法二:由題意可得的軌跡方程是,設(shè)為直線

有公共點, 半徑最小時為與外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1,圓心為過原點與垂直的直線的交點.

.

解方程組,得,即.

∴所求圓方程為.

練習冊系列答案
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