Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-1|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）≤5，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對(duì)值不等式f（x）=|x-4|+|x-1|≥|x-4+（1-x）|=3即可求得f（x）的最小值；
（2）通過對(duì)自變量x范圍的討論，去掉函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-1|中絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式，即可求得x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-4|+|x-1|≥|x-4+（1-x）|=3，
∴f（x）_min=3；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=4-x+1-x=5-2x，
∴f（x）≤5?5-2x≤5，
∴0≤x＜1；
當(dāng)1≤x≤4時(shí)，f（x）=4-x+（x-1）=3≤5恒成立，
∴1≤x≤4；
當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=x-4+x-1=2x-5，
∴f（x）≤5?2x-5≤5，
解得：4＜x≤5；
綜上所述，x的取值范圍為[0，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，考查分類討論思想及解不等式的能力，去掉函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-1|中的絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，考查集合的并集運(yùn)算，屬于中檔題．