Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角θ以坐標(biāo)原點O為頂點，以x軸的正半軸為始邊，若終邊經(jīng)過P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定義：sosθ=

y0+x0

r

，稱“sosθ”為“正余弦函數(shù)”，對于“正余弦函數(shù)”y=sosx，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：
①該函數(shù)的值域為[-

2

，

2

]；
②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；
③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對稱；
④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π；
⑤該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z
其中上述性質(zhì)正確的是

 

（填上所有正確性質(zhì)的序號）

Answer 1

考點：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)y=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①由三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
∴y=sosx=

y0+x0

r

=

rsin?x+rcos?x

r

=sinx+cos?x=

2

sin?(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
∴函數(shù)的值域為[-

2

，

2

]，∴①正確．
②∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f（0）=

2

sin?

π

4

=1≠0，∴函數(shù)關(guān)于原點對稱錯誤，∴②錯誤．
③當(dāng)x=

3π

4

時，f(

3π

4

)=

2

sin?(

3π

4

+

π

4

)=

2

sin?π=0≠±

2

，
∴圖象關(guān)于直線x=

3π

4

不對稱，∴③錯誤．
④∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π；
∴④正確．
⑤∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z
∴⑤正確，
故正確的是①④⑤，
故答案為：①④⑤

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義求出函數(shù)y=sosx的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．