Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（5，2），B（3-

2

，2-

2

），且圓心C在直線x=3上．
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)D（0，1）點(diǎn)且與圓C相切的兩條切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的一般方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）解法1：利用圓心C在直線x=3上，設(shè)圓C的方程為（x-3）²+（y-b）²=R²，代入A，B的坐標(biāo)，可得圓C的方程；解法2：圓心C在AB的垂直平分線l上，求出其方程，與直線x=3聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)，可得圓C的方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不存在經(jīng)過(guò)D（0，1）的切線；解法1：切線方程為y=kx+1與圓的方程聯(lián)立，利用方程有唯一一個(gè)解，可求切線方程；解法2：利用直線與圓相切，可得圓心C（3，2）到直線kx-y+1=0的距離等于圓的半徑，可求切線方程．

解答： 解：（1）解法1：∵圓心C在直線x=3上，
∴設(shè)圓C的方程為（x-3）²+（y-b）²=R²．
∵圓C經(jīng)過(guò)A(5，2)，B(3-

2

，2-

2

)，
∴

(5-3)2+(b-2)2=R2 (3- 2 -3)2+(b-2+ 2 )2=R2

，
∴

4+(b-2)2=R2 2+(b-2+ 2 )2=R2

，∴解方程組得

b=2 R=2

，
∴設(shè)圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=4．
解法2：∵圓C經(jīng)過(guò)A(5，2)，B(3-

2

，2-

2

)，
∴圓心C在AB的垂直平分線l上，且AB的中點(diǎn)坐標(biāo)D(4-

2

2

，2-

2

2

)．
∵kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2-(2- 2 )

5-(3- 2 )

=

2

2+ 2

=

2

-1，∴kl=-(

2

+1)．
∴直線l方程為y-(2-

2

2

)=-(

2

+1)(x-4+

2

2

)．
∵圓心C在直線x=3上，∴y-(2-

2

2

)=-(

2

+1)(-1+

2

2

)，
∴y=(

2

+1)(1-

2

2

)+2-

2

2

=2，∴圓心C（3，2），
∵R=

(5-3)2+(2-2)2

=2，∴圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=4．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不存在經(jīng)過(guò)D（0，1）的切線；
解法1：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y=kx+1．
解方程組

y=kx+1 (x-3)2+(y-2)2=4

，
得（x-3）²+（kx-1）²=4，即（k²+1）x²-2（k+3）x+6=0．
∵方程有唯一一個(gè)解，∴△=4（k+3）²-4×6（k²+1）=0，∴5k²-6k-3=0，
∴解方程得k=

3±2 6

5

，∴切線方程y=

3±2 6

5

x+1．
解法2：∵直線與圓相切，∴圓心C（3，2）到直線kx-y+1=0的距離等于圓的半徑，
∴d=r=

|3k-2+1|

k2+1

=2，∴

|3k-1|

k2+1

=2，∴4k²+4=9k²-6k+1，
∴5k²-6k-3=0，∴解方程得k=

3±2 6

5

，∴切線方程y=

3±2 6

5

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．